Cho elip (E) đi qua điểm \(M\left(\dfrac{3}{\sqrt{5}};\dfrac{4}{\sqrt{5}}\right)\) và tam giác \(MF_1F_2\) vuông tại M ( \(F_1;F_2\) là hai tiêu điểm của elip)
a) Viết phương trình chính tắc của (E)
b) Tìm tiêu cự và tỉ số \(\dfrac{c}{a}\) của E
Viết phương trình chính tắc của elip (E) có hai tiêu điểm là \(F_1\) và \(F_2\) biết :
a) (E) đi qua hai điểm \(M\left(4;\dfrac{9}{5}\right)\) và \(N\left(3;\dfrac{12}{5}\right)\)
b) (E) đi qua \(M\left(\dfrac{3}{\sqrt{5}};\dfrac{4}{\sqrt{5}}\right)\) và tam giác \(MF_1F_2\) vuông tại M
Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau :
a) Elip đi qua các điểm \(M\left(0;3\right)\) và \(N\left(3;-\dfrac{12}{5}\right)\)
b) Elip có một tiêu điểm \(F_1\left(-\sqrt{3};0\right)\) và điểm \(M\left(1;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) nằm trên elip
Phương trình chính tắc của elip có dạng: + = 1
a) Elip đi qua M(0; 3):
+ = 1 => b2 = 9
Elip đi qua N( 3; ):
+ = 1 => a2 = 25
Phương trình chính tắc của elip là : + = 1
b) Ta có: c = √3 => c2 = 3
Elip đi qua điểm M(1; )
+ = 1 => + = 1 (1)
Mặt khác: c2 = a2 – b2
=> 3 = a2 – b2 => a2 = b2 + 3
Thế vào (1) ta được : + = 1
<=> a2 = 4b2 + 5b2 – 9 = 0 => b2= 1; b2 = ( loại)
Với b2= 1 => a2 = 4
Phương trình chính tắc của elip là : + = 1.
Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E) có tiêu điểm thứ nhất là \(\left(-\sqrt{3};0\right)\) và đi qua điểm \(M\left(1;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
a) Hãy xác định tọa độ các đỉnh của (E)
b) Viết phương trình chính tắc của (E)
c) Đường thẳng \(\Delta\) đi qua tiêu điểm thứ hai của elip (E) và vuông góc với trục Ox và cắt (E) tại hai điểm C và D. Tính độ dài đoạn thẳng CD ?
a) (E) có tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\) nên \(c = \sqrt 3\).
Phương trình chính tăc của (E) có dạng
\({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)
Ta có: \(M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right) \in (E)\)
\(\Rightarrow {1 \over {{a^2}}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1\ (1)\)
Và \({a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 3\)
Thay vào (1) ta được :
\(\eqalign{ & {1 \over {{b^2} + 3}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1 \cr & \Leftrightarrow 4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^2}(b + 3) \cr}\)
\(\Leftrightarrow 4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0 \Leftrightarrow {b^2} = 1\)
Suy ra \({a^2} = 4\)
Ta có a = 2 ; b = 1.
Vậy (E) có bốn đỉnh là : (-2 ; 0), (2 ; 0)
(0 ; -1) và (0 ; 1).
b) Phương trình chính tắc của (E) là :
\({{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)
c) (E) có tiêu điểm thứ hai là điểm \(\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\). Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm\(\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\) và vuông góc với Ox có phương trình \(x = \sqrt 3\).
Phương trình tung độ giao điểm của \(\Delta\) và \((E)\) là :
\({3 \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = \pm {1 \over 2}\)
Suy ra tọa độ của C và D là :
\(C\left( {\sqrt 3 ; - {1 \over 2}} \right)\) và \(\left( {\sqrt 3 ;{1 \over 2}} \right)\)
Vậy CD = 1.
a) Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua điểm \(A\left(0;2\right)\) và có một tiêu điểm là \(F_1\left(-\sqrt{5};0\right)\)
b) Tìm độ dài trục lớn, trục nhỉ, tiêu cự và tỉ số \(\dfrac{c}{a}\) của elip (E)
c) Tìm diện tích của hình chữ nhât cơ sở của (E)
a, Phương trình chính tắc của (E) có dạng
\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) với 0<b<a
Ta có A(0;2) \(\in\left(E\right)\)<=>b=2
(E) có tiêu điểm F1\(\left(-\sqrt{5};0\right)\) => c=\(\sqrt{5}\)
Ta có \(a^2=b^2+c^2=4+5=9\)=>a=3
==> (E) \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\)
b, 2a = 6; 2b = 4; 2c = \(2\sqrt{5}\)=>\(\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)
c, S=4ab=24
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, viết phương trình chính tắc của elip $\left( E \right)$ biết:
a) $\left( E \right)$ đi qua điểm $M\left( \dfrac{3}{\sqrt{5}}\,;\,\dfrac{4}{\sqrt{5}} \right)$ và $M$ nhìn hai tiêu điểm ${{F}_{1}}$, ${{F}_2}$ dưới một góc vuông.
b) $\left( E \right)$ có độ dài trục lớn bằng $4\sqrt2$, các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của $\left( E \right)$ cùng nằm trên một đường tròn.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\). Gọi hai tiêu điểm của (E) là \(F_1,F_2\) và M là điểm thuộc (E) sao cho \(\widehat{F_1MF_2}=60^0\). Tìm tọa độ điểm M và tính diện tích tam giác \(MF_1F_2\) ?
Lập phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm \(A\left( {5;0} \right)\) và có một tiêu điểm là \({F_2}\left( {3;0} \right)\).
Phương trình chính tắc của elip có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\).
Elip đi qua \(A\left( {5;0} \right)\) nên ta có \(\frac{{{5^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} = 25\)
Mặt khác elip có một tiêu điểm \({F_2} = \left( {3;0} \right)\) nên ta có \(c = 3\), suy ra \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - {3^2} = 16\)
Vậy phương trình của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
a) Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=3\cos2x+2\cos^2x\). Tính T=19M+5m
b) Viết phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(\(\left(2;\sqrt{3}\right)\) và tỉ số của độ dài trục lớn với tiêu cự bằng \(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\)
Cho elip (E) có các tiêu điểm F 1 - 5 ; 0 , F 2 5 ; 0 và một điểm M nằm trên (E) sao cho chu vi của tam giác M F 1 F 2 bằng 30. Khi đó phương trình chính tắc của elip là:
A. x 2 75 + y 2 100 = 1
B. 100 x 2 + 75 y 2 = 1
C. 75 x 2 + 100 y 2 = 1
D. x 2 100 + y 2 75 = 1